フィボナッチ数の不思議1

　昨日のエレガントな解法とは別に、難関中学の算数の問題をフィボナッチの特殊な性質を用いてスマートに解く方法を知る機会もありました。それを元に自分でもいろいろな性質を試してみました。その一部をここに記しておきます。

　フィボナッチ数の定義は以下のように表現できます。

番目のフィボナッチ数をであらわすとき、

性質1

連続する2フィボナッチ数の2乗和はフィボナッチ数

　実際にいくつか試していただければ、この性質が成り立つことがわかると思いますが、これを証明するのは簡単ではないようです。自分なりに証明してみましたが、他に良い証明があるかもしれません。良い証明方法があれば教えてください。自分で試した証明方法は、後日書きます。