フィボナッチ数の不思議2

math

　前回紹介した性質1を証明しようと思います。しかし、性質1の形のまま証明する良い方法を思いつかなかったため、フィボナッチの基本的な性質からのアプローチを記します。

　フィボナッチ数には以下の定義がありました。

F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n \ge 3)

　この式には3つのフィボナッチ数があり、フィボナッチ数には上記の式が適用できます。したがって、以下の式変形が可能です。

\begin{array}{ll} \\ F_n & = F_{n-1}+F_{n-2} \\  & = 2F_{n-2}+F_{n-3} \\ & = 3F_{n-3}+2F_{n-4} \\ & = 5F_{n-4}+3F_{n-5} \\ & \vdots   \\ \end{array}

　この変形において、右辺のそれぞれの係数に注目してください。実はここにもフィボナッチ数列が隠れています。係数がフィボナッチ数列になることは、フィボナッチの性質を考えれば自明です。すなわち、以下のように表現できます。

F_n=a \cdot F_{n-m+1}+b \cdot F_{n-m}(n \gt m)
ただし、a=F_m, b=F_{m-1}(m \gt 1)

　これをまとめると以下のようになります。

F_n=F_m \cdot F_{n-m+1}+F_{m-1} \cdot F_{n-m}(n \gt m \gt 1)

　この式がフィボナッチ数の性質であることは、数学的帰納法で証明できます。

m=2のとき上式は、

\begin{array}{ll} \\ F_n & = F_2 \cdot F_{n-1}+F_1 \cdot F_{n-2} \\ & = F_{n-1}+F_{n-2} \\ \end{array}

となり、これはフィボナッチ数の定義式と等しいため成立する。

m=kのとき、

F_n=F_k \cdot F_{n-k+1}+F_{k-1} \cdot F_{n-k}

が成り立つとすると、
m=k+1のとき、

\begin{array}{ll} \\ (RHS) & = F_{k+1} \cdot F_{n-k}+F_k \cdot F_{n-k-1} \\ & = (F_k+F_{k-1}) \cdot F_{n-k}+F_k \cdot F_{n-k-1} \\ & = F_k \cdot (F_{n-k}+F_{n-k-1})+F_{k-1} \cdot F_{n-k} \\ & = F_k \cdot F_{n-k+1}+F_{k-1} \cdot F_{n-k} \\ & = F_n \\ \end{array}

したがって、m=k+1のときも成立するので、

F_n=F_m \cdot F_{n-m+1}+F_{m-1} \cdot F_{n-m}(n \gt m \gt 1)

が証明された。

　さて、最初に証明したかった性質は、以下のようなものでした。

F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}

　先に証明した式を変形して、この式を導出しましょう。

F_n=F_m \cdot F_{n-m+1}+F_{m-1} \cdot F_{n-m}(n \gt m \gt 1)

において、nをn+mに置き換えると、

F_{n+m}=F_m \cdot F_{n+1}+F_{m-1} \cdot F_n(n \gt m \gt 1)

となる。この置き換えは、n+m \gt n \gt m \gt 1より条件を逸脱しない。

この式は、フィボナッチの様々な性質を証明する上でよく用いられる。
この式は、n=m+1のとき、

\begin{array}{ll} \\ F_{2n+1} & = F_{n+1} \cdot F_{n+1}+F_n \cdot F_n \\ & = F_{n+1}^2+F_n^2 \\ \end{array}

となる。これが先に示したフィボナッチ数の性質1である。

　以上、

性質1
連続する2フィボナッチ数の2乗和はフィボナッチ数

の証明でした。

　長い上に、婉曲的な証明方法で、お世辞にもエレガントとはいえませんが、性質1が数学的に正しさを保っていることが証明できたので、今後この性質を自在に使用することが可能になります。